Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$ et l'unique racine (appelée racine double) si $\Delta=0$
Penser à vérifier les calculs avec la calculatrice avec le menu EQUATION de la calculatrice

Ici, on a $a=2$, $b=-4$ et $c=-6$
$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 2\times (-6)=16+48=64$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{64}}{4}=\dfrac{4-8}{4}=-1$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{64}}{4}=\dfrac{4+8}{4}=3$
Les racines de $P(x)$ sont $x_1=-1$ et $x_2=3$

Remarque
Cela signifie que $P(-1)=2\times (-1)^2-4\times (-1)-6=2+4-6=0$ et que $P(3)=0$

Quand le coefficient $b$ est négatif, attention à bien écrire $(b)^2$
En effet $-4^2=-16$ mais $(-4)^2=+16$ (la deuxième écriture est correcte pour le calcul de $\Delta$)
Penser à vérifier les calculs avec le MENU EQUATION de la calculatrice

Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$

Ici, on a $a=-3$, $b=5$ et $c=-3$

$\Delta=b^2-4ac=(5)^2-4\times (-3)\times (-3)=25-36=-11$
$\Delta<0$ donc $P(x)$ n'admet pas de racines.

$P(x)$ n'admet aucune racine. ($\Delta<0$)

Ici, on a $a=-2$, $b=12$ et $c=-18$

$\Delta=b^2-4ac=(12)^2-4\times (-2)\times (-18)=144-144=0$
$\Delta=0$ donc $P(x)$ n'admet qu'une seule racine (racine double).
$x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-12}{-4}=3$
$P(x)$ admet pour racine $x_1=3$.