Coordonnées des points d’intersection de deux cercles (réf 0838) Chapitre 7 équations de droites et de cercles, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 4 intersection de droites et de cercles

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Coordonnées des points d’intersection de deux cercles (réf 0838)

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Coordonnées des points d’intersection d’une droite et d’un cercle

Coordonnées des points d’intersection de deux cercles

Contrôle avec GEOGEBRA

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Mémo équations cartésiennes de droites et équation d’un cercle (réf 0851)
mémo

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(-2;3)$ et de rayon $r=2\sqrt{5}$
On construira la figure au fil des questions avec le logiciel GEOGEBRA pour contrôler les résultats obtenus

Donner une équation du cercle $\mathcal{C}$.

Rappel cours

Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Solution

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Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, avec l'axe des ordonnées.

Aide

Un point $B$ appartient à l'axe des ordonnées si $x_B=0$
$B(x_B;y_B)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation du cercle
soit $(x_B+2)^2+(y_B-3)^2=20$

Solution

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La droite $(d)$ a pour équation $2x-y-3=0$.
Montrer que $(d)$ est une tangente au cercle $\mathcal{C}$ en un point $C$ dont on précisera les coordonnées.

Rappel cours

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

$(d)$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$ si $(d)$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en un seul point.
Le point $C$ appartient à la droite $(d)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(d)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.

Solution

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Le point $D$ a pour coordonnées $D(-8;0)$.
Déterminer les coordonnées du point $E$, second point d'intersection de la droite $(CD)$ et du cercle $\mathcal{C}$

Aide

$ \overrightarrow{CD}$ est un vecteur directeur de $(CD)$ dont il faut déterminer une équation cartésienne.
Le point $E$ appartient à la droite $(CD)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(CD)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.

Solution

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Le cercle $\mathcal{C'}$ a pour équation $(x-1)^2+(y+6)^2=50$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, du cercle $\mathcal{C}$ et du cercle $\mathcal{C'}$

Aide

Il faut résoudre le système d'équations formé avec les équations des deux cercles
Développer les deux expressions et soustraire les deux lignes
(Avec GEOGEBRA, commande intersection de deux objets puis pointer sur le cercle $\mathcal{C}$ puis $\mathcal{C'}$.

Solution

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