Étude d’une fonction avec exponentielle (réf 666) Chapitre 4 Fonction exponentielle, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, Séquence 2 Dérivées et variations avec exp(x)

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Étude d’une fonction avec exponentielle (réf 666)

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2(x^2-x+1)e^x$ et on donne sa représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.
fonction exponentielle

En utilisant le graphique, conjecturer les variations de $f$.

Aide

Conjecturer signifie observer sans justifier

Solution

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Calculer $f'(x)$ et justifier la conjecture précédente en dressant le tableau de variation de $f$.

Rappel cours

Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$

Aide

On pose $u(x)=2(x^2-x+1)$ et et $v(x)=e^x$ pour utiliser $(uv)'=u'v+uv'$
Pour étudier le signe de $f'(x)$, il faut factoriser $e^x$

Solution

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Justifier que la courbe $C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel $x$

Aide

Il faut déterminer le signe de $x^2-x+1$ car $e^x>0$

Solution

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Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $-2$ et la tracer.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut calculer $f'(-2)$ et $f(-2)$

Solution

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