Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$

Il faut alors calculer $\alpha$ et $\beta=f(\alpha)$ avec $a=2$, $b=-4$ et $c=-6$

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Variations fonction polynôme du second degré
Soit la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $P (x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$
La courbe représentative de $P$ est une parabole dont le sommet a pour coordonnées $(\alpha; \beta)$.
Tableau de variation:

Il faut alors calculer $\alpha$ et $\beta=f(\alpha)$ avec $a=2$, $b=-4$ et $c=-6$

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Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

Il faut vérifier que $f(x_1)=0$

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Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Remplacer $x_1$ et $x_2$ par les valeurs obtenues à la question précédente et vérifier que l'on obtient $2x^2-4x-6$ en développant.

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