Devoir corrigé chapitre équations de droites et de cercles (réf 0848) Chapitre 7 équations de droites et de cercles, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On donne les droites $(d)$, $(d')$ et $(d'')$ ont pour équations respectives $2x-y+4=0$, $-4x+2y-5=0$ et $3x+6y-4=0$

$(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles?

Rappel cours

Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$

Aide

Les deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires

Solution

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$(d)$ et $(d'')$ sont-elles perpendiculaires?

Rappel cours

Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Solution

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Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ perpendiculaire à la droite $d~~:~~2x+y+3=0$ passant par $A(-4;5)$.

Rappel cours

Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Aide

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à $\Delta$

Solution

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Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(-2;3)$ et de rayon 3.

Rappel cours

Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Solution

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Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(d)$ et de $\mathcal{C}$, s'ils existent.

Solution

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Exercice 2 (8 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé et on donne le point $A(-3;2)$, $B(1;4)$ et $C(9;-2)$.

La droite $(d)$ a pour équation $2x+y-1=0$
1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$
  Le point $I$ appartient-il à $(d)$?
  
  Rappel cours
  
  Coordonnées du milieu d'un segment
  Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
  
  Aide
  
  Les coordonnées de $I$ doivent vérifier l'équation de $(d)$
  
  Solution
  
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2. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $(d)$ et calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}$.
  
  Rappel cours
  
  Coordonnées d'un vecteur
  Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
  
  Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$
  Vecteur directeur dans un repère
  Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
  Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
  
  Produit scalaire dans un repère orthonormé
  Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
  
  Solution
  
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3. Que représente alors la droite $(d)$?
  
  Solution
  
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Calculer les coordonnées du milieu $J$ de $[BC]$
puis déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d')$ de $[BC]$

Rappel cours

Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Aide

La droite $(d')$ passe par le milieu $J$ de $[AB]$ et est perpendiculaire à $(AB)$

Solution

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Calculer les coordonnées du point $E$, point d'intersection de $(d)$ et $(d')$.

Aide

Il faut résoudre le système formé avec les deux ´équations de droites.

Solution

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En déduire une équation du cercle passant par $A$, $B$ et $C$.

Rappel cours

Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$

Aide

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des médiatrices

Solution

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Exercice 3 (4 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
$\mathcal{E}_m$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2mx+y^2-4y+5m=0$ où $m$ est un réel.
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l'ensemble $\mathcal{E}_m$ est un cercle non réduit à un point.
Préciser alors les coordonnées du centre et le rayon en fonction de $m$.

Rappel cours

Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Aide

$(x-m)^2=x^2-2mx+m^2$ et $(y-2)^2=y^2-4y+4$

Solution

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