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Contenu
Lecture graphique du nombre dérivé
Calculs de dérivées
Dérivée d’un produit et d’un quotient
Ressources associées et exercices semblables
- Par lecture graphique, déterminer
- $f(-3)$
Aide
Le point de la courbe d'abscisse $-3$ a pour ordonnée $f(-3)$
Solution
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Infos abonnements - $f'(-2)$ et $f'(-3)$ en justifiant la réponse.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Il faut déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-3$
Le coefficient directeur d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ est $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$Solution
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Infos abonnements - $f'(-1)$ (sans justifier).
Solution
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Infos abonnements - La tangente $T_E$ à la courbe $C_f$ au point $E$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour équation réduite $y=\dfrac{15x-12}{4}$.
Placer $E$ et tracer $T_E$.
Que vaut $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$?Aide
Il faut déterminer les coordonnées de deux points de $T_E$ pour la tracer en prenant par exemple $x=0$ et le point de contact entre la tangente et la courbe.
Solution
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Infos abonnements - Quel est le signe de $f'(-2,5)$?
Rappel cours
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Aide
Il faut déterminer le sens de variation de $f$ en $x=-2,5$
Solution
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- $f(-3)$
- $f(x)=x^3+3x^2-2$
- Calculer $f'(x)$.
Rappel cours
Dérivées usuelles
Aide
Il faut dériver $x^3$ et $x^2$
La dérivée d'une fonction constante est 0Solution
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Infos abonnements - Retrouver la valeur de $f'(-2)$ et de $f'(-3)$ par le calcul.
Aide
Il faut remplacer successivement $x$ par $-2$ puis $-3$ dans l'expression de $f'(x)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_D$ à la courbe au point $D$ d'abscisse $1$ puis la tracer dans le repère ci-dessus.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Il faut calculer $f'(1)$ puis $f(1)$
La tangente $T_D$ a pour coefficient directeur $f'(1)$ et passe par le point $D(1;f(1))$Solution
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- Calculer $f'(x)$.
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
- Pour tout réel $h\neq 0$, exprimer le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3+h$ en fonction de $h$.
Rappel cours
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Aide
aux identités remarquables pour développer $(3+h)^2$
Solution
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Infos abonnements - En utilisant le taux d'accroissement, montrer que $f$ est dérivable en $x=3$ et donner la valeur de $f'(3)$.
Rappel cours
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Aide
Il faut chercher la limite de $T_h$ quand $h\longrightarrow 0$
Solution
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