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Calculs avec le produit scalaire
Produit scalaire nul et vecteurs orthogonaux
Ressources associées et exercices semblables
Produit scalaire dans un rectangle (réf 1232)
exercice
Droites orthogonales et produit scalaire (réf 0797)
exercice
Le point $G$ est tel que $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{4} \overrightarrow{AD}$ et $H$ est le milieu de $[AD]$.
- Faire une figure
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $ \overrightarrow{HG}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$
Aide
Décomposer $ \overrightarrow{HG}$ en $ \overrightarrow{HA}+ \overrightarrow{AG}$
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $ \overrightarrow{EF}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$
Aide
$F$ milieu de $[BC]$ donc $ \overrightarrow{BF}= \overrightarrow{FC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que les droites $(HG)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.
Rappel cours
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$ Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Aide
Utiliser les deux décompositions obtenues aux questions 2. et 3.
Calculer $ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}$ et vérifier que ce produit scalaire est nul.Solution
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