Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.

On peut utiliser un vecteur directeur de $(d)$ et les coordonnées d'un point $A$ de $(d)$ (à calculer)
Par exemple si $x_A=0$ calculer $y_A$

On a ici $a=3$ et $b=-2$ donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$
Si $x=0$ alors on a $3\times 0-2y+6=0$
donc $y=\dfrac{-6}{-2}=3$
donc le point $A(0;3)$ appartient à $(d)$.

Droites parallèles
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction) Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)

Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$

Rappel: $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$
Méthode 1
Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$.
$\overrightarrow{PM}\begin{pmatrix}(x-(-1)\\y-(-2)\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{PM}\begin{pmatrix} x+1\\y+2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{PM}$ et $\overrightarrow{u}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{PM};\overrightarrow{u})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix} x+1&2\\ y+2&3\end{bmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow 3(x+1)-2(y+2)=0$
$\Longleftrightarrow 3x+3-2y-4=0$
$\Longleftrightarrow 3x-2y-1=0$
$3x-2y-1=0$ est une équation cartésienne de $(d')$
Méthode 2:
$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc de $(d')$.
$(d')$ admet une équation cartésienne de la forme $3x-2y+c'=0$
$P\in (d') \Longleftrightarrow 3x_P-2y_P+c'=0$
$~~~~~~~\Longleftrightarrow 3\times (-1)-2\times (-2)+c'=0$
$~~~~~~~\Longleftrightarrow -3+4+c'=0$
$~~~~~~~\Longleftrightarrow c'=-1$
$3x-2y-1=0$ est une équation cartésienne de $(d')$

Saisir l'équation de chacune des droites dans la barre de saisie de GEOGEBRA

On peut saisir les équations dans la barre de saisie de GEOGEBRA.