Équations des hauteurs d’un triangle et orthocentre (réf 0822) Chapitre 7 équations de droites et de cercles, PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS, séquence 2 équations cartésiennes d'une perpendiculaire

Faire une figure

Solution

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Déterminer une équation de la hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ puis la tracer.

Remarque
On pourra faire la figure à l'aide de GEOGEBRA pour contrôler le résultat

Rappel cours

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

La hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ est la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$
$M(x;y)$ appartient à cette hauteur si et seulement si $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0$
On peut aussi utiliser un vecteur normal à $(BC)$

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Déterminer une équation de la hauteur $(d')$ issue de $C$ dans $ABC$ puis la tracer.

Aide

$(d')$ passe par $C$ et est perpendiculaire à $(AB)$

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En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$

Aide

Le point $H$ est le point d'intersection des hauteurs du triangle
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites définies par leurs équations cartésiennes, il faut résoudre le système d'équations formé avec ces deux équations.

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En utilisant les coordonnées des points, vérifier que l'on a bien $(BH)$ perpendiculaire à $(AB)$.

Rappel cours

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

Vérifier que $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

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