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Contenu
Dérivée avec exp(kx)
Tableau de variation
Équation réduite d’une tangente
Tracé de la courbe et de la tangente
Ressources associées et exercices semblables
Étude d’une fonction avec exp(kx) (réf 0673)
exercice
Étude d’une fonction avec exp(kx), courbe et tangente (réf 0674)
exercice
Vidéo de l’exercice
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
- Donner l'ensemble de définition de $f$.
Rappel cours
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction notée $exp$ définie et dérivable sur $\R$ telle que $exp'(x)=exp(x)$ et $exp(0)=1$.
Le nombre $e$ est limage de 1 par la fonction $exp$ soit $exp(1)=e$
Notation $e^x$: $exp(x)$ se note aussi $e^x$.Solution
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Infos abonnements - Calculer la dérivée de $f$.
Rappel cours
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^{2x}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire le tableau de variation de $f$.
Rappel cours
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$Aide
$e^{2x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $6x+3$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $0$.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Il faut calculer $f(0)$ et $f'(0)$
Solution
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Infos abonnements - Tracer $C_f$ et $T$ (unités 2cm pour l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)
Solution
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Infos abonnements - Montrer que la courbe $C_f$ ne coupe l'axe des abscisses qu'au point $A$ d'abscisse $0$.
Aide
On a $e^{2x}>0$
Solution
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