Donner l'ensemble de définition de $f$.

Rappel cours

Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction notée $exp$ définie et dérivable sur $\R$ telle que $exp'(x)=exp(x)$ et $exp(0)=1$.
Le nombre $e$ est limage de 1 par la fonction $exp$ soit $exp(1)=e$
Notation $e^x$: $exp(x)$ se note aussi $e^x$.

Solution

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Calculer la dérivée de $f$.

Rappel cours

Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

1-xx^2+1$ et $v(x)=e^{-x}$

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En déduire le tableau de variation de $f$.

Rappel cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$

Aide

$e^{-3x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-3x^2+2x+3$

Solution

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Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $0$.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut calculer $f(0)$ et $f'(0)$

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Tracer $C_f$ et $T$ (unités 2cm pour l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)

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Déterminer (par le calcul) les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

Aide

On a $e^{-x}>0$

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