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Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 dérivation séquence 4 exemples d'études de variations

Étude des variations d’une fonction rationnelle avec une fonction auxiliaire (réf 0560)

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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction $f$ définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$

Justifier que $f$ est dérivable sur D et calculer $f'(x)$

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Solution

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On pose $g(x)=2x^3+12x^2+2$ définie sur D.
Etudier les variations de $g$ et en déduire le signe de $g(x)$

Rappel cours

Dérivées usuelles

Aide

Calculer $g'(x)$
Etudier le signe de $g'(x)$
Rechercher le minimum de $g$ à laide du tableau de variation et en déduire le signe de $g(x)$

Solution

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En déduire le tableau de variation de $f$

Rappel cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

Aide

Le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif
Le numérateur correspond à la fonction $g$

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