Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.
Ce sondage révèle que 55% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).
Ce sondage révèle aussi que :
45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation.
15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en collocation.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :
$F$ l'évènement : "l'ancien élève poursuit ses études à la faculté";
$I$ l'évènement : " l'ancien élève a intégré une école d'ingénieur " ;
$T$ l'évènement : " l'ancien élève est sur le marché du travail" ;
$C$ l'évènement : " l'ancien élève vit en collocation ".

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
   Rappel cours

   Arbre pondéré
   Probabilités sur un arbre pondéré:
   

   Aide

   Placer les probabilités non conditionnelles au premier nievau de l'arbre, soit $p(F)$, $P(I)$ et $p(T)

   Solution

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2. 1. Exprimer à laide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.
      Rappel cours

      Probabilité de l'événement $A\cap B$
      Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
      $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

      Aide

      $F\cap C$ se lit événement $F$ et $C$ réalisés

      Solution

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   2. Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$.
      Rappel cours

      Arbre pondéré
      Probabilités sur un arbre pondéré:
      

      Aide

      Il faut calculer $p(C)$ en utilisant la formule des probabilités totales et/ou l'arbre en identifiant les parcours menant à l'événement $C$.

      Solution

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3. Un ancien élève vit en collocation.
   Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.
   Rappel cours

   Probabilité conditionnelle
   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
   La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
   et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

   Aide

   On veut calculer $p_C(F)$

   Solution

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4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Le responsable du sondage affirme : " Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la collocation poursuivent des études".
   Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
   Aide

   On veut calculer $p_{\overline{C}}(\overline{T})$

   Solution

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5. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
   
   1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation
      Aide

      Les expériences sont indépendantes

      Solution

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   2. Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en collocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
      Aide

      Au moins un des trois est le contraire de aucun n'est en colocation

      Solution

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