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Contenu
Arbre pondéré
Calculs de probabilités
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Calcul de l’espérance et interprétation
Ressources associées et exercices semblables
Probabilités conditionnelles et totale, loi de probabilité et espérance (d’après BAC) (réf 0893)
exercice
Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l'une des deux formules d'entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l'appartement en fin de séjour par le personnel d'entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d'entretien).
Le gestionnaire a constaté que :
$60$% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci $20$% ne souscrivent aucune formule d'entretien ;
La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par $45$% des locataires de Studio et par $55$% des locataires de deux-pièces ;
$18$% des locataires ne souscrivent aucune formule.
On rencontre un résident au hasard.
Soit $S$ l'évènement "Le résident a loué un studio "
$A$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Simple"
$B$ l'évènement "Le résident a souscrit la formule Confort "
$R$ l'évènement "Le résident n'a souscrit aucune formule d'entretien ".
Partie A
- Traduire l'énoncé à laide d'un arbre pondéré.
Rappel cours
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Aide
Traduire les données avec les notaions de l'énoncé.
Les probabilités non conditionnelles sont à placer au premier niveau de l'arbreSolution
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INSCRIPTION - Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ?
Aide
rappel $p(\overline{A})=-p(A)$
Solution
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INSCRIPTION - Calculer $P_{S}(B)$.
Aide
La somme des probabilités des branches partant d'un sommet de l'arbre est égale à 1
Solution
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INSCRIPTION - Calculer $P(R \cap S)$ et en déduire $p\left(R \cap \overline{S}\right)$.
Rappel cours
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$Aide
Utiliser la formule des probabilités totales avec $p(
Solution
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INSCRIPTION - Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu'il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.
Rappel cours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Aide
On veut calculer $p_{\overline{S}}(R)$
Solution
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INSCRIPTION
Partie B
- Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.
Aide
On veut calculer $p(A)$
Utiliser la formule des probabilités totales.Solution
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INSCRIPTION - La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeurs $L_{i}$. On désigne par $p_{i}$, la probabilité que le coût de la semaine soit égal à $L_{i}$.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Rappel cours
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $Aide
Identifier le parcours sur l'arbre correspondant à 370 euros, 480 euros puis 500 euros
Solution
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INSCRIPTION - Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Solution
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