Home PREMIÈRE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 dérivation séquence 4 exemples d'études de variations

Recettes, coûts et recherche d’un bénéfice maximal (réf 0565)

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Contenu

Étude des coûts et des recettes

Calculs du bénéfice et recherche du bénéfice maximal

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Étude du bénéfice et du coût moyen (réf 0567)
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Vidéo de l’exercice

Un artisan fabrique des objets mais il ne peut pas en produire plus que 70 pas semaine.
Chaque objet est vendu 80 euros et le coût de production, en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0;70]$ par $C(x)=0,01x^3-1,05x^2+91x+225$

Quel est le montant des coûts fixes?

Aide

Les coûts fixes sont ceux que l'on ne peut éviter (loyer, entertien du matériel...) même quand on ne produit aucun objet

Solution

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Combien coûte la production de 25 objets?

Aide

Il fautcalculer $C(25)$

Solution

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Déterminer le sens de variation de la fonction $C$.

Rappel cours

Dérivées usuelles
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Il faut étudier le signe de $C'(x)$ qui est un polynôme du second degré

Solution

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On note $B(x)$ le bénéfice, en euros, qu'il retire de la production chaque semaine pour la production et la vente de $x$ objets.
1. Calculer $B(25)$
  
  Aide
  
  il faut calculer la recette obtenue pour la vente de 25 objets à 80 euros l'unité
  
  Solution
  
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2. Exprimer $B(x)$ en fonction de $x$
  
  Aide
  
  B(x)=R(x)-C(x)$ où $R(x)$ est la recette pour la vente de $x$ objets à $80$ euros l'unité
  
  Solution
  
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3. Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0;70]$
  
  Aide
  
  il faut calculer la dérivée de $B$ et étudier son signe
  
  Solution
  
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4. En déduire quel nombre d'objets il doit fabriquer pour avoir un bénéfice maximum.
  
  Solution
  
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