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Contenu
Étude du bénéfice
Dérivée et étude des variations d’un polynôme de degré 3
Ressources associées et exercices semblables
Recettes, coûts et recherche d’un bénéfice maximal (réf 0565)
exercice
et 32 000 pièces identiques.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$, où $C$ est la fonction définie sur $[6;32]$ par : $C(x)=2x^3-108x^2+5~060x-4~640$
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de $3,50$ \euro~ l'unité.
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
- Montrer que, pour tout $x \in [6;32]$, $B(x)=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$.
Aide
$x$ est exprimé en millires de pièces donc pour $x$ milliers de pièces, on a $1000x$ pièces.
Solution
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INSCRIPTION - Déterminer $B'(x)$, et étudier son signe sur $[6;32]$.
Rappel cours
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Dérivées usuelles
Aide
Il faut déterminer d'abord les racines de $B'(x)$ en calculant le discriminant $\Delta$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire le tableau de variations de la fonction $B$.
Rappel cours
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Solution
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INSCRIPTION - Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ?
Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.Aide
Utiliser le tableau de variation et donner le nombre de pièces ( $x$ est exprimé en milliers de pièces)
Solution
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