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Contenu
Suite définie par une récurrence double
Suite auxiliaire arithmétique
Recherche de la forme explicite
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Suites liées (d’après BAC) (réf 0635)
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Suites liées par une récurrence double (réf 0636)
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Suites liées (réf 0637)
exercice
$u_{0} = - 1$, $u_{1} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}$.
- Calculer $u_{2}$ et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On peut vérifier que la somme de deux termes consécutifs n'est pas constante en utilisant $u_0$, $u_1$ et $u_2$
On peut ensuite vérifier que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constantSolution
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Infos abonnements - On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
- Calculer $v_{0}$.
Aide
On prend $n=0$ dans $v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}$
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$.
Aide
Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ pour avoir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n=q \left( u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n} \right)$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Solution
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Infos abonnements - Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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- Calculer $v_{0}$.
- On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$: $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
- Calculer $w_{0}$.
Aide
Il faut prendre $n=0$ dans la relation $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$
Solution
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Infos abonnements - En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$, exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$.
Aide
$w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}$ avec $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$ et $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $ w_{n+1} = w_{n} + 2$.
Aide
On a $w_n=\dfrac{u_n}{v_n}$
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$ Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Solution
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- Calculer $w_{0}$.
- Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}$.
Aide
0 On a $w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}$ et les formes explicites des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont connues
Solution
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