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Contenu
Suite arithmétique
Suite géométrique
Algorithme et comparaison des valeurs
Ressources associées et exercices semblables
Au dernier recensement, la population rurale comptait 584000 habitants et il y avait 250000 habitants dans la plus grande ville de la région.
On a constaté que la population rurale diminuait de 15000 habitants chaque année et que celle de la plus grande ville augmentait de 8% chaque année.
On note $r_n$ le nombre d'habitants, en milliers, de la zone rurale et $v_n$ le nombre d'habitants, en milliers, de la plus grande ville pour l'année $2010+n$.
- Déterminer $r_0$ et $v_0$.
Aide
$r_0$ et $v_0$ correspondent au nombre d'habitants en $2010+0=2010$
le nombre d'habitants doit être donné en milliersSolution
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INSCRIPTION - Déterminer la nature de la suite $(r_n)$ et exprimer $r_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Aide
Chaque année, $r_n$ diminue de la même quantité
On peut vérifier que $r_{n+1}=r_n+C$ où $C$ est la raison de la suite
le nombre d'habitants est donné en milliersSolution
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INSCRIPTION - Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
Chaque année, $v_n$ augmente de 8% et augmenter une valeur de 8 revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{8}{100}$
On peut vérifier que $v_{n+1}=qv_n$ où $q$ est la raison de la suite
le nombre d'habitants est donné en milliersSolution
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INSCRIPTION - On veut déterminer à partir de quelle année la population de la grande ville sera supérieure à celle de la zone rurale.
Pour cela, on utilise un algorithme permettant de déterminer le plus petit indice $n$ possible correspondant à cette situation.
Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il affiche cet indice.
Aide
A chaque passage dans la boucle TANT QUE, on veut calculer le terme suivant pour chacune des deux suites.
Solution
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INSCRIPTION - Avec la calculatrice, afficher les termes de chacune des deux suites jusqu'à l'indice 50 et donner la valeur de $n$ que va afficher l'algorithme ci-dessus.
Donner alors l'année pour laquelle la population de la ville va dépasser celle de la zone rurale.Solution
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