Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$

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Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)

Chercher la limite de $T_h$ quand $h \longrightarrow 0$ (vers quelle valeur se rapproche $T_h$ quand $h$ se rapproche de 0)

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Calculer $T_{h}=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 2 et $2+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclure

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