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Contenu
Calcul du produit scalaire
Utiliser les propriétés du produit scalaire
Expression de la puissance d’un point par rapport à un cercle
Ressources associées et exercices semblables
Droites orthogonales (réf 0794)
exercice
Aide mémoire complet produit scalaire et vecteurs (réf 0806)
mémo
Vidéo de l’exercice
$(d)$ est une droite par $M$ et coupant $\mathcal{C}$ respectivement en deux points distincts $A$ et $B$.
- Faire une figure avec GEOGEBRA en prenant pour rayon $r$ 5 unités et en plaçant $M$ à l'extérieur du cercle et un point $A$ sur $\mathcal{C}$.
Que peut-on alors conjecturer pour le produit scalaire $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ lorsque $A$ décrit le cercle $\mathcal{C}$?
Refaire la figure avec $M$ à l'intérieur du cercle.
Quelle conjecture peut-on faire sur le signe de $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ selon la position de $M$?Aide
Utiliser la commande ProduitScalaire[u,v] pour afficher le produit scalaire $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$ en définissant $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{MB}$
Solution
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Infos abonnements - On note $A'$ le point du cercle diamétralement opposé au point $A$.
Montrer que $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MA`}$Rappel cours
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Aide
Décomposer $ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA'}+ \overrightarrow{A'B}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}=MO^2-r^2$
Aide
Utiliser $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MA'}$ et décomposer les vecteurs $ \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{MA'}$ en faisant intervenir le centre O du cercle.
Solution
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