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Contenu
Recherche du maximum d’un polynôme de degré 2 et forme canonique
Équation du second degré et discriminant
Ressources associées et exercices semblables
Problème d’aire menant à une équation du second degré (réf 0508)
exercice
Position d’une hyperbole par rapport à une droite (réf 0509)
exercice
- On veut définir une zone de baignade rectangulaire ouverte sur la plage et fermée sur trois côtés par une corde de longueur 100m. On veut déterminer les dimensions de cette zone pour que son aire soit maximale.
Rappel cours
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$Aide
On peut poser $x$ et $y$ les longueurs des côtés de cette zone.
Il faut exprimer l'aire en fonction de $x$ en remplaçant $y$ par son expression en fonction de $x$Solution
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INSCRIPTION - $AMEF$ et $MBCD$ sont des carrés avec $AB=10$ cm et $M\in [AB]$.
Déterminer la position de $M$ pour que l'aire totale(en gris ) soit maximale.Aide
Il faut exprimer l'aire totale (somme des aires des deux carrés) en fonction de $x=AM$ avec $0\leq x \leq 10$
Solution
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INSCRIPTION - Existe-t-il deux entiers dont le produit est 218 et la somme 30?
Rappel cours
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Aide
Il faut écrire deux égalités avec $x$ et $y$ les deux nombres cherchés et se ramener à une équation à une inconnue par substitution.
Solution
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INSCRIPTION