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Contenu
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Limite d’un produit
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- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$Rappel cours
Opérations sur les limites
Aide
Utiliser les résultats des limites pour une somme, un produit et un quotient.
Il faut essayer de déterminer ces limites de manière "intuitive" sans nécessairement connaître tous les résultats.
Il faut par contre connaître les cas d'indétermination.Solution
Par somme, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)=+\infty$
Par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)=+\infty$
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$
Remarque
On peut retrouver les résultats du cours en raisonnant ainsi:
Par exemple pour la somme, on ajoute $f(x)$ proche de 1 avec $g(x)$ infiniment grand...
Pour le quotient, on divise $f(x)$ proche de 1 par un nombre $g(x)$ très grand... - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Solution
Par somme, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)$ est indéterminée.
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$Solution
Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)$ est indéterminée.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)=-\infty$
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ est indéterminée.