Home MATHÉMATIQUES SECONDE Chapitre 6 Vecteurs séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Centre de gravité d’un triangle dans un repère (réf 0335)

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Contenu

Milieu d’un segment

Coordonnées d’un point défini par une relation vectorielle

Points alignés et vecteurs colinéaires

Ressources associées et exercices semblables

Aide mémoire Vecteurs et coordonnées (réf 309)
mémo

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Dans un repère orthonormé, on donne $A(3;4)$, $B(-3;-1)$ et $C(3;-3)$.
penser à contrôler graphiquement les calculs en plaçant les points dans un repère.

Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.
Que représente la droite $(AI)$ pour le triangle $ABC$?

Rappel cours

Médianes et centre de gravité
La médiane issue de $A$ dans un triangle $ABC$ est la droite passant par $A$ et le milieu de $[BC]$ (côté opposé au sommet $A$).

Centre de gravité
Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes.

Solution

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Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.

Rappel cours

Coordonnées de la somme et du produit par un réel
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ alors:
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}$
$k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$

Aide

Il faut calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AI}$

Solution

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Calculer les coordonnées du milieu $J$ de $[AC]$.
Montrer que $B$, $J$ et $G$ sont alignés.

Rappel cours

Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}=xy'-x'y=0$

Aide

Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BG}$ sont colinéaires.

Solution

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Que représente alors le points $G$ pour le triangle $ABC$?

Aide

$G$ est le point d'intersection des droites $(AI)$ et $(BJ)$.

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