Devoir fin de chapitre probabilités (réf 1550) Chapitre 9 Probabilités, MATHÉMATIQUES SECONDE, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Une roue de loterie est partagée en six secteurs identiques numérotés de 1 à 6. On la fait tourner et on s'intéresse au chiffre du secteur désigné par le pointeur.

Quel est l'univers associé à cette expérience aléatoire?

Rappel cours

Univers d'une expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles que l'on peut ni prévoir, ni calculer.
L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers.
Notation usuelle: On note $\Omega=\left\lbrace x_1;x_2;x_3;....;x_n \right\rbrace$ l'ensemble des issues possibles.

Aide

Il faut déterminer toutes les issues possibles

Solution

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Est-on dans une situation d'équiprobabilité? (justifier en une phrase)

Rappel cours

Équiprobabilité
On a une loi de probabilité sur l'ensemble $\Omega$ qui associe à chaque issue $x_i$ la probabilité $p_i$
Si $p_1=p_2=p_3=...=p_n=\dfrac{1}{n}$, la loi de probabilité est une loi équirépartie.

Aide

Il faut que les probabilités des événements élémentaires (événements de $\Omega$) soient égales.

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Soit A l'événement : "le chiffre obtenu est 1".
L'événement A est-il un événement élémentaire?
Quelle est la probabilité de A?

Rappel cours

Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur l'ensemble $\Omega$, c'est associer à chaque issue $x_i$ un nombre $p_i$ tel que $0\leq p_i\leq 1$ et $p_1+p_2+...+p_n=1$.

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Que signifie l'événement $\overline{A}$?
Calculer $p(\overline{A})$.

Rappel cours

Notations des événements et probabilités
$\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
$\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
$\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$

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Soit B l'événement "le chiffre obtenu est supérieur ou égal à 3".
Quelle est la probabilité de B?

Aide

Il faut déterminer le nombre d'issues possibles.

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Que signifie l'événement $A \cap B$?
Calculer $p(A\cap B)$.

Rappel cours

Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

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Soit C l'événement "le chiffre obtenu est pair".
Quelle est la probabilité de C?

Solution

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Décrire l'événement $B \cap C$ puis calculer $p(B\cap C)$.

Solution

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Donner la signification de $B\cup C$ puis calculer $p(B\cup C)$.

Rappel cours

Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

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Exercice 2 (6 points)

Un magasin vend des salons de jardin.
Une enquête statistique a montré que :
- $10$% des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table ;
- parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent un lot de chaises ;
- parmi les personnes qui n'achètent pas de table, 10% achètent un lot de chaises.
On suppose que chaque client achète au maximum un seul lot de chaise et une seule table.
Une personne entre dans le magasin.
On note T l'événement : "La personne achète une table"
On note C l'événement : "La personne achète un lot de chaises"

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui décrit la production journalière :

Solution

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Avec les notations de l'énoncé, comment peut-on noter l'événement: "la personne achète un lot de chaises et une table"?
Calculer sa probabilité.

Rappel cours

Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Solution

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Avec les notations de l'énoncé, comment peut-on noter l'événement: "la personne achète un lot de chaises mais n'achète pas de table"?
Calculer sa probabilité.

Solution

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Soit l'événement: "la personne a acheté au moins un de deux articles en vente".
Comment peut-on noter cet événement avec les notations du texte?
Calculer sa probabilité.

Aide

On veut que $C$ soit réalisé ou bien $T$ soit réalié ou bien que $C$ et $T$ soient réalisés.

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Exercice 3 (5 points)

Pour un jeu de loterie, on doit trouver une nombre à trois chiffres.
Lors du tirage, on dispose de trois urnes contenant des billes numérotées de 0 à 9.
Le numéro de la bille tirée dans la première urne correspond au chiffre des centaines, celui de la bille tirée dans la seconde urne au chiffre des dizaines et celui de la troisième urne au chiffre des unités.

Combien y-a-t-il de combinaisons possibles?

Aide

de 0 à 9, cela fait 10 chiffres possibles
On a 10 choix possibles pour les centaines, 10 pour les dizaines et 10 pour les unités

Solution

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Quelle est la probabilité de l'événement A: "le joueur a obtenu le bon nombre"?

Aide

Il y a une seule combinaison gagnante.

Solution

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Quelle est la probabilité d'obtenir B: "le joueur a obtenu un nombre multiple de 10" ?

Aide

Il faut que le chiffre des unités soit 0

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Exercice 4 (4 points)

Problème "ouvert": pour cette exercice, toute démarche, même incomplète sera mise en valeur.
Lors d'un jeu, un candidat doit choisir successivement deux boîtes parmi les dix (numérotées de 1 à 10) qui lui sont présentées.
Toutes les boîtes sont identiques.
Une des boîtes contient une bille marquée A et une des boîte contient une bille marquée B.
Il gagne le gros lot s'il trouve les deux boîtes contenant les billes.
Il gagne un lot de consolation s'il trouve seulement une des deux boîtes contenant une bille.
Calculer en expliquant votre démarche avec un tableau ou un arbre, la probabilité qu'il gagne le gros lot.
Calculer en expliquant votre démarche avec un tableau ou un arbre, la probabilité qu'il gagne le lot de consolation.

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