Distance entre deux réels
Si les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $a$ et $b$ sur un axe gradué, la distance entre les réels $a$ et $b$ est $AB=d(a;b)=|a-b|=|b-a|$.
Par exemple $d(-2;3)=|3-(-2)|=|3+2|=|5|=5$
$d(-3;-7)=|-7-(-3)|=|-7+3|=|-4|=4$

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Équation de la forme $|x-a|=r$
Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.

Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$ $fcours

!! Sur un axe gradué d'origine $O$, si le point $M$ a pour abscisse $x$ alors alors $OM=d(x;0)=|x|$ et on veut $OM > 3$

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Déterminer le centre et le rayon d'un intervalle
L'intervalle $I=[\alpha;\beta]$ avec $\alpha < \beta$. Le centre de $I$ est $a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ (milieu du segment formé des points d'abscisses $\alpha$ et $\beta$)
Le rayon est $r=\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}=|\beta-a|$.
On a alors $I=[a-r;a+r]$.

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Équation de la forme $|x-a|=r$
Si on pose $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ alors $AM=|x-a|=r$ avec $r > 0$.

Les solutions de $|x-a|=r$ ($r >0$) sont donc $x=a-r$ et $x=a+r$.
Attention, si on a $|x+2|$ alors le point $A$ a pour abscisse $-2$.
En effet, $d(AM)=|x-(-2)|=|x+2|$

Pour l'inéquation, on peut utiliser les points $A$ et $M$ d'abscisses respectives $-1$ et $x$

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Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$
Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
On veut $AM \leq r$.
L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.

donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$

!! Sur un axe gradué, on peut utiliser le point $A $ d'abscisse $4$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et on a $AM=d(4;x)=|x-4|$

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!! On peut utiliser un intervalle centré pour donner l'ensemble de solution
$|x+\sqrt{2}|=|x-(-\sqrt{2})|$

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!! rappel: une vcaleur absolue est toujours positive

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