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Contenu
Images et antécédents
Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Ressources associées et exercices semblables
devoir images et antécédents par une fonction (réf 0226)
devoir
- Calculer $f(3)$.
Aide
On veut calculer l'image de 3 par $f$ et il faut remplacer $x$ par la valeur 3.
Solution
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Infos abonnements - Calculer l'image de $-2$ par $f$.
Rappel cours
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
Aide
On remplace $x$ par $-2$
$-2^2\neq (-2)^2$Solution
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Infos abonnements - Calculer $f(1-\sqrt{3})$
Aide
Il faut utiliser une identité remarquable pour développer $(1-\sqrt{3})^2$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les éventuels antécédents de 4 par $f$.
Rappel cours
Calcul d'un (des) antécédent(s)
Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.Aide
Il faut résoudre l'équation $f(x)=4$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les éventuels antécédents de 3 par $f$.
Aide
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
Il faut écrire que $4x^2-4x=(2x-1)^2-1$Solution
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- Déterminer $f(-5)$, $f(0)$ et $g(8)$.
Rappel cours
Image par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.
Aide
Pour $f(-5)$, on cherche l'ordonnée du point de $C_f$ d'abscisse $-5$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les antécédents de $-1$ par $f$.
Rappel cours
Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est $-1$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les antécédents de $1$ par $g$.
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_g$ dont l'ordonnée est 1
Solution
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Infos abonnements - En expliquant la méthode, résoudre l'équation $f(x)=0$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est 0.
Les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation $g(x)=3$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_g$ dont l'ordonnée est 3.
Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$.
Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation $f(x)> 3$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à 3.
Solution
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Infos abonnements - Résoudre l'équation $f(x)\leq g(x)$
Aide
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$.
Solution
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- Déterminer $D_f$.
Rappel cours
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.Aide
Il faut que le dénominateur soit différent de 0.
Solution
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Infos abonnements - Calculer $g(-3)$.
Rappel cours
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
Aide
Il faut remplacer $x$ par $-3$ dans l'expression de $g$
Solution
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Infos abonnements - Calculer $g\left( \dfrac{4}{5}\right)$.
Aide
Il faut remplacer $x$ par $\dfrac{4}{5}$ dans l'expression de $g$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les antécédents de 4 par $g$.
Rappel cours
Calcul d'un (des) antécédent(s)
Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.Aide
Il faut résoudre $g(x)=4$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les antécédents de $\dfrac{2}{3}$ par $g$.
Aide
Il faut résoudre $g(x)=\dfrac{2}{3}$.
Les produits en croix sont égaux.Solution
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