Construire le parallélogramme ABCD puis tracer [AC]
Placer le point E sur [AC] puis tracer les parallèles à (AB) et (AD) passant par E et marquer les points I, J, K et L

Tracer $ABCD$ puis $[AC]$ et placer $E$ sur $[AC]$
Tracer les parallèles (onglet droites parallèle passant par un point) à $(AB)$ et $(CD)$ passant par E et marquer les points d'intersection $I$, $J$, $K$ et $L$ comme dans l'énoncé.

En déplaçant $E$ sur $[AC]$, il semble que $(IL)$ et $(KJ)$ soient parallèles quand $E$ est le point d'intersection des diagonales de $ABCD$.

Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)

M(x;y) appartient à la droite (AC) si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires

Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$, on a $A(0;0)$ (origine du repère), $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $C(1;1)$
$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$
Soit $M(x;y)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$
$M\in (AC)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires
$det(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AM})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{vmatrix}1&x\\1&y\end{vmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow 1\times y-1\times x=0$
$\Longleftrightarrow -x+y=0$
$\Longleftrightarrow y=x$
donc une équation de (AC) est $y=x$

Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient une équation de cette droite

(IJ) est parallèle à (AB) et $I\in (AD)$ (axe des ordonnées) et $J\in (BC)$ avec $x_C=x_B=x_J$ car (BC) est parallèle à (AD)

$\overrightarrow{IL}$ est un vecteur directeur de la droite (IL). $\overrightarrow{JK}$ est un vecteur directeur de la droite (JK).

(IL) et (JK) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

$\overrightarrow{IL}\begin{pmatrix} \alpha\\1-\alpha\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de (IL)
$\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix} \alpha-1\\-\alpha\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(JK)$
$(IL)$ et $(JK)$ sont parallèles
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{IL}$ et $\overrightarrow{JK}$ sont colinéaires

$\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{IL};\overrightarrow{JK})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{vmatrix} \alpha&\alpha-1\\1-\alpha&\alpha\end{vmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow \alpha\times (-\alpha)-(1-\alpha) (\alpha-1)=0$
$\Longleftrightarrow -\alpha^2-\alpha+1+\alpha^2-\alpha=0$
$\Longleftrightarrow -2\alpha+1=0$
$\Longleftrightarrow \alpha =\dfrac{1}{2}$
donc $\alpha=\dfrac{1}{2}$ soit $x_E=y_E=\dfrac{1}{2}$
donc pour $I$ milieu de $[AD]$ et $K$ milieu de $[AB]$
$(IL)$ parallèle à $(JK)$ pour $M$ milieu de $[AC]$

une équation de $(IL)$ est $\alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0$
une équation de $(JK)$ est $\alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0$
$E$ distinct de $A$ et de $C$ donc $\alpha \neq 0$ et $\alpha \neq 1$
$\begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -y-\alpha^2+\alpha x=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x-\alpha y +y+\alpha^2-\alpha x=0 \phantom{test}L_1-L_2 \text{ On soustrait les deux lignes} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ -x+y=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \alpha y -\alpha^2-x+\alpha x=0 \\ y=x \end{cases}$
donc le point N est tel que $x_N=y_N$
or une équation de $(AC)$ est $y=x$
donc $n\in (AC)$
A, C et N sont alignés