La fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ax+bln(x)$ avec $a$ et $b$ réels.
On donne ci-dessous $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal et T la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.

Déterminer graphiquement $f(1)$ et $f~'(1)$

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut déterminer le coefficient directeur de T.

Solution

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Exprimer $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

Rappel cours

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

Aide

On a $f(x)=ax+b\times ln(x)$

Solution

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En utilisant la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$.

Aide

On a $f(1)=2$ et il faut exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
De même on a $f~'(1)=-2$ et il faut exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
Rappel: $ln(1)=0$

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Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$

Rappel cours

Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$ Croissances comparées
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$

Aide

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Déterminer alors les variations de $f$ et dresser sont tableau de variations.

Aide

On a obtenu à la question 2., $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ avec $a=2$ et $b=-4$
Il faut étudier le signe de $f~'(x)$ en réduisant au préalable au même dénominateur
Rappel: $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ ....

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Calculer $f~''(x)$ et en déduire la convexité de $f$.

Rappel cours

point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.

Aide

On a $f~'(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x$

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