Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS chapitre 1 suites et limites de suites séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Suite définie par récurrence et suite auxiliaire arithmétique (réf 0964)

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Contenu

Justifier qu’une suite n’est ni arithmétique, ni géométrique

Utilisation d’une suite auxiliaire arithmétique

Variations d’une suite

Limite d’une suite

Ressources associées et exercices semblables

Suite arithmético-géométrique (réf 0960)
exercice

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Vidéo de l’exercice

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{4-u_n}$ et $u_0=-1$.
On admet que $u_n\neq 4$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.

Solution

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Montrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique

Aide

On peut montrer que la différence puis le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constante

Solution

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Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.

Rappel cours

Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

Solution

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En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$

Rappel cours

Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

Aide

Il faut calculer le premier terme de $(v_n)$

Solution

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En déduire les variations de $(u_n)$ et sa limite

Rappel cours

Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante. Limite d'un quotient

Solution

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