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Contenu
Calculs avec les matrices
Matrices égales
Raisonnement par récurrence
Suite de matrices
Ressources associées et exercices semblables
Suites et matrices (réf 1637)
exercice
On définit la suite de matrices colonnes $(U_n)$ par $U_{n+1}=AU_n+B$ pour $n\in \mathbb {N}$ et son premier terme $U_0=\begin{pmatrix} 0,1\\0,2 \end{pmatrix}$
- Déterminer la matrice colonne $C$ telle que $C=AC+B$.
Rappel cours
Matrices égales
Deux matrice $M$ et $N$ de dimensions $n$ et $p$ sont égales si leurs coefficients sont égaux.Aide
Poser $C=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}$ et calculer d'abord $AC+B$ en fonction de $c_1$ et $c_2$
Solution
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Infos abonnements - On pose $V_n=U_n-C$
- Montrer que $V_{n+1}=AV_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
Aide
On peut utliser U_{n+1}=AU_n+B$ donc $V_{n+1}=U_{n+1}-C=AU_n+B-C$...
Solution
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Infos abonnements - Démontrer par récurrence que $V_n=A^nV_0$ pour tout entier $n$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Solution
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Infos abonnements - Montrer par récurrence que $A^n=\begin{pmatrix}
\dfrac{0,4^n}{3}+2\dfrac{0,1^n}{3}&\dfrac{0,4^n}{3}-\dfrac{0,1^n}{3}\\&\\
2\dfrac{0,4^n}{3}-2\dfrac{0,1^n}{3}&2\dfrac{0,4^n}{3}+\dfrac{0,1^n}{3}\\
\end{pmatrix}$ et en déduire $U_n$ en fonction de $n$
Solution
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- Montrer que $V_{n+1}=AV_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$