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Contenu
Suite auxiliaire géométrique
Forme explicite d’une suite arithmético-géométrique
Variations et limite d’une suite
Recherche d’un seuil
Ressources associées et exercices semblables
Fiche méthode suites arithmético-géométriques (révisions première) (réf 0972)
méthode
On considère l'algorithme suivant :
Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.
Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?
Aide
On peut faire fonctionner "à la main" l'algorithme pour $N=3$ par exemple.
On peut aussi saisir cet algorithme dans le MENU programme de la calculatrice pour déterminer les valeurs de sortie...
Solution
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Partie B
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$. \medskip
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
Aide
On prend $n=0$ puis $n=1$ dans la relation $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$
Solution
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- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$.
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On peu poser $P_n$ ($n\in \mathbb{N}$) la propriété $u_n\geq n$
Initialisation: vérifier que la relation est vraie pour les premiers termes
$P_{n+1}$ est la propriété $u_{n+1} \geq n+1$
Pour obtenir $P_{n+1}$ à partir de $P_n$, on doit multiplier $u_n$ par 3, ajouter $-2n$ puis ajouter 3Solution
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Infos abonnements - En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Rappel cours
Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$Aide
utiliser la question précédente et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n$
Solution
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- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$.
- Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Solution
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Infos abonnements - Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On veut montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $v_{n+1}=kv_n$
$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n+1$...Solution
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Infos abonnements - En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
On peut exprimer $v_n$ en fonction de $n$ en calculant d'abord $v_0$
on a $v_n=u_n-n+1$ soit $u_n=v_n+n-1$Solution
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- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
- Soit $p$ un entier naturel non nul.
- Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,
$u_n\geq 10^p$ ?
Rappel cours
Limite infinie
Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$Aide
On peut utiliser le résultat $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
Solution
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On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
- Justifier que $n_0\leq 3p$.
Aide
On a $u_n\geq n$ et $u_{n+1}=3u_n-2n+3$ et on peut prendre $n=3p$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
Aide
010 On utilise le MENU RECUR de la calculatrice pour afficher les termes de la suite
Solution
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Infos abonnements - Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on ait $u_n\geq 10^p$.
Aide
011 Il faut utiliser une boucle TANT QUE et un compteur $n$ pour les indices avec à chaque passage dans la boucle $n+1\longrightarrow n$
Solution
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- Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,
$u_n\geq 10^p$ ?