Devoir complet matrices, opérations sur les matrices et systèmes d’équations (réf 1641) Chapitre 4 MATRICES, Option maths expertes, séquence 4 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Justifier que $A$ est inversible.

Rappel cours

Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}

Aide

Il faut vérifier que le déterminant est non nul

Solution

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Déterminer (par le calcul) la matrice $A^{-1}$.

Rappel cours

Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$

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Exercice 2 (6 points)

On considère le système d'équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$ : $(S):\begin{cases}a+b+c=11\\9a+3b+c=5\\4a-2b+c=-10\end{cases}$

1. Déterminer les matrices $A$, $B$ et $X$ pour que le système précédent soit équivalent à l'équation matricielle d'inconnue $X$ : \[(E): AX=B \]
  
  Rappel cours
  
  Système d'équations et matrices
  Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
  $A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
  $X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
  Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$
  
  Solution
  
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2. Avec la calculatrice, déterminer $A^{-1}$.
  
  Solution
  
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3. Résoudre $(S)$.
  
  Aide
  
  Il faut calculer $A^{-1}B$
  
  Solution
  
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Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
La courbe $C_f$, représentative de la fonction $f$ passe par les points $M(1;11)$, $N(3;5)$ et $P(-2;-10)$.
On cherche à déterminer la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$.
1. Montrer qu'il faut résoudre le système $(S)$ de la question 1 pour déterminer $a$, $b$ et $c$.
  
  Solution
  
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2. En déduire l'expression de $f$.
  
  Solution
  
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Exercice 3 (5 points)

On donne les matrices $A=\begin{pmatrix}2-3,5&6\\3&-45\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}-4&3\\3&-2\end{pmatrix}$

1. Montrer que $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}$
  
  Rappel cours
  
  Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
  Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
  $A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$
  
  Solution
  
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2. Vérifier que la matrice $B=P^{-1}AP$ (calculatrice autorisée) est une matrice diagonale à préciser.
  
  Solution
  
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Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $B^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,5^n\end{pmatrix}$.

Solution

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Exprimer $A$ en fonction de $B$ puis $A^n$ en fonction de $B^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Aide

Exprimer $A$ en fonction de $B$

Solution

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Exercice 4 (7 points)

On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par :
$\begin{cases} a_0=9\qquad b_0=15 \\ a_{n+1}=-4a_n+3b_n+1 & \forall n\in\mathbb{N} \\ b_{n+1}=-8a_n+6b_n-1 & \forall n\in\mathbb{N} \\ \end{cases}$
On pose, pour tout entier $n$, $U_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$.

Déterminer $U_0$.

Solution

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Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que : $ \forall n\in\mathbb{N}, \quad U_{n+1}=AU_n+B$

Aide

Les coefficients de $A$ correspondent aux coefficients de $a_n$ et $b_n$

Solution

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Résoudre l'équation matricielle : $ AX+B=X $ et on appellera $C$ la solution.

Aide

$ AX+B=X \Longleftrightarrow AX-X=-B\Longleftrightarrow A-I_2)X=-B$

Solution

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On pose, pour tout entier $n$, $V_n=U_n-C$
1. Démontrer que, pour tout entier $n$ : $ V_{n+1}=AV_n$
  
  Solution
  
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2. En déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
  
  Rappel cours
  
  Forme explicite d'une suite géométrique
  Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0\times q^n$
  et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
  
  Solution
  
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3. Déterminer alors l'expression de $U_n$ en fonction de $A$, $U_0$ et $n$.
  
  Aide
  
  On a $V_n=U_n-C$ donc $U_n=V_n+C$
  
  Solution
  
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1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ : $A^n=\begin{pmatrix}-2^{n+1}&3\times 2^{n-1}\\&\\-2^{n+2}&3\times2^{n} \end{pmatrix}$
  
  Solution
  
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2. Déduire de ce qui précède les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
  
  Aide
  
  Utiliser $U_{n}=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$ =A^n\times V_0+C$
  
  Solution
  
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Devoir complet matrices, opérations sur les matrices et systèmes d’équations (réf 1641)

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