Devoir matrices, calculs avec les matrices, systèmes d’équations (réf 1642) Chapitre 4 MATRICES, Option maths expertes, séquence 4 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

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Devoir matrices, calculs avec les matrices, systèmes d’équations (réf 1642)

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Contenu

Coefficients d’une matrice

Produit de deux matrices

Inverse d’une matrice

Systèmes d’équations et matrices

Suites et matrices

Ressources associées et exercices semblables

Devoir matrices et opérations sur les matrices (réf 1640)
devoir

Devoir complet matrices, opérations sur les matrices et systèmes d’équations (réf 1641)
devoir

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Exercice 1 (2 points)

Écrire une matrice carrée $A$ d'ordre 3 telle que $a_{ij}=1$ si $i=j$ et $a_{ij}=2i-j$ si $i< j$ et $a_{ij}=0$ si $i>j$

Aide

Si $i=j$ alors $a_{i,j}$ est un coefficient de la diagonale
Si $i > j$ alors $a_{i,j}$ est un coefficient en dessous de la diagonale

Solution

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Exercice 2 (3 points)

On donne $A=\begin{pmatrix} 3&1&3\\ 1&2&2\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Calculer $2A+I_3$

Rappel cours

Matrice identité
La matrice carrée identité d'ordre $n$ notée $I_n$ est la matrice diagonale dont tous les coefficients de la diagonale sont égaux à 1.
Si $A$ est une matrice $n\times p$, on a $AI_p=A$ et $I_nA=A$.
Par exemple $I_2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$, $I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$

Solution

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Le produit $A\times B$ existe t'il ? (justifier à l'aide d'une phrase). Si oui calculer $A\times B$ en détaillant les calculs

Rappel cours

Produit de deux matrices
Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
Schématiquement on a:

Solution

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Le produit $B\times A$ existe t'il ? (justifier à l'aide d'une phrase). Si oui calculer $B\times A$ en détaillant les calculs

Solution

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Exercice 3 (5 points)

On donne la matrice $A=\begin{pmatrix} a&5\\ 3&4 \end{pmatrix}$ avec $a$ réel.

Pour quelle valeur de $a$ la matrice $A$ n'est pas inversible?

Rappel cours

Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}

Aide

Il faut déterminer quelle valeur de $a$ annule le déterminant

Solution

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Pour la suite, on a $a=4$
Calculer $A^{-1}$

Rappel cours

Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$

Solution

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On considère le système d'équations $\begin{cases}4x+5y=2\\ 3x+4y=1 \end{cases}$
Donner l'écriture matricielle de ce système d'équations.

Rappel cours

Système d'équations et matrices
Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$

Solution

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En déduire les solutions de ce système d'équations

Aide

Il faut calculer $A^{-1}\times B$

Solution

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Exercice 4 (3 points)

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&0&2\\0&-1&1\\1&-2&0\end{pmatrix}$
Avec la calculatrice, calculer $A^3-A$ et en déduire que $A$ est inversible.
Exprimer alors $A^{-1}$ en fonction de $A$

Rappel cours

Inverse d'une matrice carrée d'ordre $n$
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $A$ est un inversible s'il existe une matrice carrée d'ordre $n$ notée $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=I_n$

Aide

$A^3-A=A(A^2-I_3)$

Solution

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Exercice 5 (7 points)

On considère les suites $(u_n)$ et $V_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$\begin{cases}u_{n+1}=0,9u_n+0,4v_n\\v_{n+1}=0,1u_n+0,6v_n\end{cases}$ et $u_0=0$ et $v_0=1$

On pose $E_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$
Donner la valeur de $E_0$ puis déterminer la matrice carrée d'ordre 2 $M$ telle que $E_{n+1}=M\times E_n$

Solution

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Pour la suite On admet que $E_n=M^n\times E_0$
On pose $A=\begin{pmatrix} 0,8&0,8\\0,2&0,2 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0,2&-0,8\\-0,2&0,8 \end{pmatrix}$
Montrer que $M=A+\dfrac{1}{2}B$

Solution

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On admet que $A^2=A$ et $B^2=B$
Vérifier que $AB=BA=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$
Montrer par récurrence que $M^n=A+0,5^nB$ pour tout entier naturel $n>0$

Solution

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En déduire que $u_n=0,8-0,8\times 0,5^n$

Aide

$E_n=M^n\times E_0$

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