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Centres étrangers juin 2025

Un exercice 3 à voir puisqu’il mélange fonction ln et suite de la forme Un+1=f(Un). Notamment la démonstration par récurrence qui utilise les variations de la fonction

Le premier exercice sur les probabilités est assez classique. Attention, l’utilisation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebitchev qui pose souvent des problèmes.

L’ex2 sur la géométrie dans l’espace est également assez classique avec équations de plans et droites

Et l’ex4 ne porte que sur les équations différentielles.

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Chapitre probabilités

Probabilités
Loi binomiale
Inégalité de Bienaymé-Tchebitchev

Chapitre géométrie dans l’espace

Représentation paramétrique d’une droite
Position relative de droites et plans
Produit scalaire pour calculer un angle

Chapitre fonction ln et suites

Étude d’une fonction avec ln
Limite de ln(u) et tableau de variation
TVI et approximation d’une solution de l’équation f(x)=0
Suite de la forme Un+1=f(Un)

Chapitre fonctions et équations différentielles

Équation différentielle y’=ay+b
Solution d’une équation différentielle en posant p=1/y

Vidéo ex 1

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes
Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui- même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.
Partie A
Le contrôle peut être - soit " total " : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client ;
- soit " partiel" : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.
Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.
Lorsqu'un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans 30% des cas.
Lorsqu'un contrôle partiel est effectué, dans $85$% des cas, il n'y a pas d'erreur.
Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.
On considère les évènements suivants:
- $T$ : " Le contrôle est un contrôle total "; -
- $E$ : " Une erreur est détectée lors du contrôle".
On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $T$ et $E$.

Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $p\left(\overline{T} \cap E\right)$.

Aide

Traduire d'abord les données de l'énoncé avec les motations des probabilités

Solution

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Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle.

Rappel cours

Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

Aide

à la rédaction pour utiliser les probabilités totales

Solution

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Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. (On donnera la valeur arrondie au centième)

Rappel cours

Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

Aide

On veut calculer $P_{E}(T)$

Solution

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Partie B :
Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p=0,165$. La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

Rappel cours

Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. %l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$

Solution

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Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. (On donnera la valeur arrondie au centième)

Rappel cours

Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$

Aide

On veut ici $p(X=5)$

Solution

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Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. (On donnera la valeur arrondie au centième)

Aide

$X\geq 1$ est le contraire de $X=0$

Solution

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On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99$%.
Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Aide

On peut noter $n$ le nombre de comntrôles effectués
On a aussi $p(X=0)=0,835^n$

Solution

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Partie C :
Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_{1}, X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.
On admet que les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20~;~0,165)$.

Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$.

Rappel cours

On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$ et $V(x)=np(1-p)$

Aide

On a ici une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,165$

Solution

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On définit la variable aléatoire $S$ par $S = X_1 + X_2 + X_3$.
Justifier que $E(S) = 9,9$ et que $V(S) = 8,2665$.
Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $E(S)$.
À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$.

Rappel cours

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
Inégalité de Bienaymé-Tchebitchev
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X)=\mu$ et de variance $V(X)=V$.
Pour tout réel $\delta >0$ on a $p\left(|X-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{V}{\delta^2}$

Solution

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Vidéo ex 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une seule réponse correcte. Aucune justification n'est demandée.
Dans tout l'exercice, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
On considère:
- les points $A(-3~;~1~;~4)$ et $B(1~;~5~;~2)$
- le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $4x + 4y -2z + 3 = 0$
- la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=- 6 + 3t\\y=1\\z=9 - 5t \end{cases}$ où $t \in~\mathbb{R}$.

Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont:
1. sécantes non perpendiculaires.
2. perpendiculaires.
3. non coplanaires.
4. parallèles.
.

Rappel cours

Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Aide

On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$

Solution

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La droite $(AB)$ est:
1. incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
2. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
3. sécante et non orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
4. orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Rappel cours

Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

Aide

Il faut vérifier que q'un vecteur normal au plan est soit colinéaire, soit orthogonal à $\overrightarrow{AB}$

Solution

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On considère le plan $P'$ d'équation cartésienne $2x+y+6z+5 = 0$.
Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont:
1. sécants et non perpendiculaires.
2. perpendiculaires.
3. confondus.
4. strictement parallèles.
Aide

Il faut utiliser les vecteurs normaux à chacun des deux plans

Solution

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On considère le point $C(0~;~1~;~-1)$. La valeur de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré est:
1. 90 degrés
2. 51 degrés
3. 39 degrés
4. 0 degrés
Aide

Il faut utiliser le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

Solution

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Vidéo ex 3

Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] - 1~;~+\infty[$ par $f(x) = 4ln(x + 1) - \dfrac{x^2}{25}$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] - 1~;~+\infty[$.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.

Rappel cours

Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

Aide

On utilise la composition des limites pour déterminer la limite de $ln(x+1)$ en posant $X=x+1$

Solution

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Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ , on a $f'(x) = \dfrac{100- 2x - 2x^2}{25(x+1)}$

Rappel cours

Composition avec la fonction $ln$, dérivée de $ln(u)$
$u$ est dérivable sur $I$ et $u(x)>0$ pour tout réel $x$ de $I$.
La fonction $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $\left(ln(u(x))\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Aide

On pose $u(x)=x+1$ et on a $f(x)=4ln(u(x))-\dfrac{x^2}{25}$

Solution

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Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $] - 1~;~+\infty[$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.

Aide

Le dénominateur est strictement positif puisque $x> -1$ donc on étudie le signe du numérateur

Solution

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On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2~;~6,5]$ par $h(x) = f(x) - x$.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :

Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in [2~;~6,5]$.

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

Aide

On peut calculer les valeurs approchées de $h(2)$ et $h(6,5)$ puis utiliser les intervalles $[2;m]$ et $[m;6,5]$

Solution

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On considère le script suivant, écrit en langage Python:

On rappelle qu'en langage Python:
- la commande $\text{log} (x)$ renvoie la valeur $ln x$ ;
- la commande c$**$d renvoie la valeur de $\text{c}^{\text{d}}$.
1. Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2).
  On donnera les valeurs arrondies au centième.
  
  Aide
  
  On a ici $n=2$ donc $p=0,01$ et on calcule les images par $h$ tant que $h(x)$ est positif
  
  Solution
  
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2. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.
  
  Solution
  
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Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$, et, pour tout entier naturel $n$: $ u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

Montrer par récurrence que pour tout $n$ entier naturel, $2 \leqslant u_n < u_{n+1} < 6,5$.

Rappel cours

Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

Solution

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En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

Rappel cours

Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente

Solution

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On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x)~=~0$ sur l'intervalle $[2~;~6,5]$.
Justifier que $\ell = \alpha$.

Aide

On a $h(x)=F(x)-x$ et $h(\alpha)=0$

Solution

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Vidéo ex 4

Partie A
On considère l'équation différentielle $(E_1)$ :$y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$ où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $h(t) = \dfrac{1}{120}$.
Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

Aide

Calculer $h'(t)$ puis $h'(t)' + 0,48h(t)$

Solution

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Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0,48y = 0$.

Rappel cours

Solutions de $y'=ay$ avec $a$ réel non nul
Les solutions de $y'=ay$ sont de la forme $x\longmapsto Ke^{ax}$ avec $K$ constante réelle

Solution

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En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.

Aide

Les solutions de $(E_1)$ sont les solutions de l'équation homogène associée soit $y'+0,48y=0$ et d'une solution particulière de $(E_1)$

Solution

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Partie B
On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.
À un instant $t = 0$, on introduit une population initiale de $3~0000$ bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure.
On a donc $p(0) = 30$.
On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $(E_2)$ :$p' = \dfrac{1}{250}p \times (120 - p)$.
Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ , on a $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.

Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ : $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$.

Aide

Il faut exprimer $p'(t)$ en fonction de $y(t)$ et de $y'(t)$

Solution

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On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $(E_1)$, alors $p = \dfrac{1}{y}$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.
Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ , on a :
$p(t) = \dfrac{120}{1 + Ke^{-0,48t}}$ avec $K$ constante réelle.

Solution

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En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.

Aide

On a $K=120C$

Solution

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Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

Rappel cours

limites usuelles
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x^n}=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction exponentielle(vue en première)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^n=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+ \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction $ln$ (chapitre fonction $ln$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

Solution

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Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60~000$ individus.
On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.

Solution

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