Devoir complet fin de chapitre limites (réf 1017) Chapitre 2 limites de fonctions et asymptotes, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3 \rbrace$.
Les droites $d$ et $d'$ sont asymptotes à la courbe $C_f$.

Quelles sont les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ et en $x=3$?

Rappel cours

limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.

Aide

Pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$, il faut utiliser l'asymptote $d$.
Pour les limites en $x=3$, il faut distinguer $x<3$ et $x>3$.

Solution

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On a $f(x)=\dfrac{6-5x}{x-3}$.
Retrouver les limites données par lecture graphique en $+\infty$ et $-\infty$

Rappel cours

Opérations sur les limites

Aide

Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur.

Solution

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Retrouver les limites de $f$ quand $x=3$.

Rappel cours

Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.

Aide

Il chercher la limite au numérateur et au dénominateur en distinguant les cas $x<3$ et $x>3$

Solution

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Exercice 2 (8 points)

Déterminer les limites suivantes:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2+3}{x-1}$.

Aide

Il faut factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{\dfrac{2}{x^2+2}}$

Aide

Il faut chercher la limite de la composée en posant $u(x)=\dfrac{2}{x^2+2}$ et $v(x)=\sqrt{x}$

Solution

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{cos(x)}{x}$

Rappel cours

Encadrement (théorème des "gendarmes")
$f$, $g$ et $h$ sont définies sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=l$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=l$

Aide

Il faut encadrer $\dfrac{cos(x)}{x}$

Solution

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x-2}-\sqrt{x}$
On pourra utiliser l'expression conjuguée de $\sqrt{x-2}-\sqrt{x}$

Rappel cours

Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

Aide

Pour lever l'indétermination, on peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x-2}-\sqrt{x}$ au numérateur et au dénominateur

Solution

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Exercice 3 (6 points)

La fonction $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2+4x-5}$ sur $D_f$ et on note $C_f$ sa représentation graphique de $f$.

Déterminer $D_f$

Aide

Il faut avoir $x^2+4x-5\neq 0$

Solution

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Dresser le tableau de signes de $x^2+4x-5$.

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En déduire les limites de $f$ en $x=-5$ et en $x=1$.

Aide

Il faut chercher la limite du numérateur et du dénominateur pour $x\longrightarrow -5^-$, $x\longrightarrow -5^+$, $x\longrightarrow 1^-$ puis $x\longrightarrow 1^+$
On pourra utiliser la question précédente pour déterminer le signe du dénominateur.

Solution

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On admet que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty }f(x)=1$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$?
Compléter le tracé de $C_f$ ci-dessous ainsi que les asymptotes à la courbe $C_f$.

Rappel cours

limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$

Aide

On peut déterminer alors l'asymptote à la courbe $C_f$ en $-\infty$ et $+\infty$

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Exercice 1 (8 points)

Déterminer la limite de chaque fonction à l'endroit indiqué, et préciser l'asymptote à la courbe représentative de $f$ s'il y a lieu.

$f(x)=-x+3sin (x)$ en $+\infty$

Rappel cours

Limite par comparaison
Soit $f$ et $g$ définie sur $I=]a;+\infty[$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

Aide

Il faut déterminer la limite de chaque terme de la somme donc de $-x$ puis de $3sin(x)$

Solution

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$f(x)=\dfrac{x+5}{4x+1}$ en $+\infty$

Rappel cours

Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

Aide

Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur

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$f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ en $+\infty$
On pourra montrer que pour tout réel $x>-2$ on a $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}=\dfrac{-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}$

Aide

Il s'agit d'un cas d'indétermination $+\infty- (+\infty)$
Il faut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}$ soit $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}$

Solution

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Exercice 2 (5 points)

La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique $C_f$ dans un repère orthogonal.

A l'aide du graphique, conjecturer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.

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Démontrer les résultats ci-dessus.

Rappel cours

Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
Opérations sur les limites

Aide

rappel $e^0=1$

Solution

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Exercice 3 (7 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{x+2}$.

Déterminer la limite de $f$ en $-2$.

Rappel cours

Opérations sur les limites

Aide

Il faut chercher la limite du numérateur puir du dénominateur ainsi que son signe

Solution

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Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

Rappel cours

Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

Aide

Il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur pour $x\neq 0$

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La droite $(d)$ a pour équation $y=x+2$
1. Montrer que $f(x)-(x+2)=\dfrac{-1}{x+2}$
  
  Solution
  
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2. En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-(x+2)$ et en donner une interprétation graphique.
  
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3. Déterminer la position relative de $(d)$ et $C_f$.
  
  Aide
  
  Il faut déterminer si $(d)$ est au-dessus ou en-dessous de $C_f$ en étudiant le signe de $f(x)-(x+2)$
  
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Tracer les asymptotes à la courbe et compléter le tracé de $C_f$.

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