Limites, cas d’indétermination et asymptotes (réf 1016) Chapitre 2 limites de fonctions et asymptotes, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

Dans chaque cas, déterminer, si cela est possible, la limite de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+ g(x)$, de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)\times g(x)$ puis de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=3$.

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Opérations sur les limites

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=0$ et $g(x)>0$.

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Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

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il y a un cas d'indétermination

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=0$ et $g(x)<0$.

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Opérations sur les limites

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x-\dfrac{1}{x}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}x-\dfrac{1}{x}$

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Déterminer la limite de chaque terme de la somme

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$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{5-x}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 5^+}\dfrac{3}{5-x}$

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Opérations sur les limites

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Déterminer la limite de chaque terme du quotient

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Exercice 3 (2 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-3x$

Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$ et interpréter graphiquement ce résultat.

Rappel cours

limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$

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Rappel: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$

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Montrer que pour tout réel $x\neq 0$ on a $f(x)=e^x\left(\dfrac{e^x}{x}-3\right)$ et en déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$

Rappel cours

Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes... Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$

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