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Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 4 fonction ln séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoir complet fin de chapitre trois ex BAC 2023 (réf 1131)

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3 ex BAC spé maths 2023

Fonction ln (dérivée, limite…)

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Devoir fin de chapitre équations, inéquations et étude de fonction avec ln (réf 1132)
devoir

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 2 difficulté moyenne | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (7 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 8ln (x)$, où $ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.
  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$.
    Rappel cours

    Limites de ln
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    Solution

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  2. On admet que, pour tout $x > 0$, $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$. En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$.
    Rappel cours

    Limite de $\dfrac{ln(x)}{x^n}$
    Pour tout entier naturel $n > 0$ on a $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x^n}=0$

    Solution

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  3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
    Rappel cours

    Dérivée de la fonction ln
    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

    Solution

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  4. Dresser le tableau de variations de $f$.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
    Aide

    On a $x > 0$ et $x+2 > 0$

    Solution

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  5. Démontrer que, sur l'intervalle $]0~;~2]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
    Rappel cours

    Théorème des valeurs intermédiaires
    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
    Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

    Solution

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  6. On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$.
    En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Aide

    La courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses en $\alpha$ et $\beta$

    Solution

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  7. Pour tout réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g_k(x) = x^2 - 8ln (x) + k$
    En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Aide

    $g_k(x)\geq 0 \Longleftrightarrow x^2-8ln(x)\geq k$

    Solution

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Exercice 2 (8 points)
Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = ln \left(x^2\right) + x - 2$.
  1. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    Rappel cours

    Limites de ln
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    Solution

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  2. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Rappel cours

    Dérivée de $ln(u)$
    $\left(ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$

    Solution

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  3. Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
    Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.On a par composition de la dérivation :
    Rappel cours

    Théorème des valeurs intermédiaires
    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
    Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

    Solution

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  4. En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Aide

    La courbe de $g$ coupe l'axe des abscisses en $x=\alpha$

    Solution

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Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{(x-2)}{x}ln(x)$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
    Rappel cours

    $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    Solution

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  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    Aide

    factoriser $x$ pour lever l'indétermination

    Solution

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  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
    Rappel cours

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Aide

    On pose $u(x)=\dfrac{x-2}{x}$ et $v(x)=ln(x)$

    Solution

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  4. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    Aide

    $x^2 > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$

    Solution

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Partie C
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $ln$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Aide

Il faut déterminer le signe de $f(x)-ln(x)

Solution

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Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = 3x + 1 - 2x ln (x)$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    Rappel cours

    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} xln(x)=0$

    Aide

    Il y a indétermination en $+\infty$ donc il faut factoriser par $x$

    Solution

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    1. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2ln (x)$.
      Aide

      On pose $u(x)=2x$ et $v(x)=ln(x)$

      Solution

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    2. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$
      On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.
      Aide

      Il faut résoudre $1-2ln(x) > 0$

      Solution

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    1. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
      Aide

      On doit distinguer les intervalles $]0;e^{\dfrac{1}{2}}[$ et $]e^{\dfrac{1}{2}};+\infty[$

      Solution

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    2. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]0;+\infty[$
      Aide

      La courbe coupe l'axe des abscisses en $\alpha$

      Solution

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  4. Étudier la convexité de $f$
    Aide

    Il faut déterminer le signe de la dérivée seconde de $f$

    Solution

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  5. Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
    Déterminer l'équation réduite de $T$
    Rappel cours

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

    Solution

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  6. Déduire des questions précédentes que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $ln (x) \geqslant 1 - \dfrac 1x$
    Aide

    $f$ est concave donc la courbe est en-dessous de ses tangentes

    Solution

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