Étude d’une fonction composée avec ln (type BAC) (réf 1125) Chapitre 4 fonction ln, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

Justifier que l'ensemble de définition de $f$ est $]-2;+\infty[$

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La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $g(x)>0$.

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Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 2;+ \infty[$.

Rappel cours

Dérivée de ln(u)
$u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
$ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$

Aide

On a $g(x)>0$ sur $]-2;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du même signe que $g'(x)$.

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Déterminer la limite de $f$ en $(- 2)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$ , puis donner le tableau de variations de $f$.

Rappel cours

Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

Aide

$f$ est la composée de la fonction $g$ et de la fonction $ln$ donc on détermine d'abord la limite de $g$ par lecture du tableau de variation

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Partie B
Dans cette partie, la fonction $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 3;+ \infty[$ par : $g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}$.

En utilisant cette définition de la fonction $g$ retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.

Rappel cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

Il faut chercher la limite de $x+3$ puis de $\dfrac{2}{x+3}$ en $-3^+$ et en $+\infty$.
On pose $v(x)=x+3$ et on a $g(x)=2-\dfrac{2}{v(x)}$

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Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction $f$ par :
pour tout $x$ élément de l'intervalle $ ]- 2;+ \infty[$, $f(x ) = ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)$.
Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de cette fonction $f$ relativement à un repère orthogonal.
La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est représentée sur la figure fournie en annexe.
1. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.
  Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.
  
  Aide
  
  Il faut utiliser les limites de $f$ en $-2^+$ et $+\infty$.
  
  Solution
  
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2. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de $f(x)$, déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie en annexe.
  
  Aide
  
  $ln(g(x))=0 \Longleftrightarrow g(x)=1$
  
  Solution
  
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3. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $(- 1)$. Tracer la droite (T) sur la figure fournie en annexe.
  
  Rappel cours
  
  Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
  $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
  La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
  et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
  
  Aide
  
  Il faut calculer $f'(x)$ puis $f'(-1)$.
  
  Solution
  
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