Envoyez votre messageInfos
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Encadrement de l’inverse de 1+x
Encadrement d’une intégrale
Encadrement de ln(1+x) avec une intégrale
Ressources associées et exercices semblables
Vidéo de l’exercice
- $x$ est un réel positif et la fonction $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$
- Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{1}{1+x}-(1-x)$ sur $[0;+\infty[$.
Rappel cours
Rappel sur la dérivée de $\dfrac{1}{v}$
$\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ avec $v$ fonction dérivable non nulleAide
On pose $v(x)=1+x$ pour dériver $\dfrac{1}{1+x}$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - En déduire que $1-x\leq \dfrac{1}{1+x}$ pour tout rée $x\geq 0$
Aide
Calculer $h(0)$ et conclure avec les variations de $h$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{1}{1+x}-(1-x)$ sur $[0;+\infty[$.
- Montrer que pour tout réel $x\geq 0$ on a $\dfrac{1}{1+x}\leq 1-x+x^2$
Rappel cours
Pour comparer deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence
Etudier le signe de $\dfrac{1}{1+x}-(1-x+x^2)$Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $g(x)=ln(1+x)$.
Calculer la dérivée de la fonction $g$.
En déduire un encadrement de $ln(1+x)$ en fonction de $x$ en utilisant les questions 1 et 2.Rappel cours
Dérivée de $ln(u)$
$\left(ln(u) \right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et positive
Comparaison d'intégrales
$f$ et $g$ sont deux fonctions continues telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $[a;b]$
$\displaystyle \int_a^b f(x) dx \leq \displaystyle \int_a^b g(x)dx$Aide
Utiliser l'encadrement $1-t\leq \dfrac{1}{1+t}\leq 1-t+t^2$ obtenu pour $t\geq 0$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements