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Encadrement de l’inverse de 1+x

Encadrement d’une intégrale

Encadrement de ln(1+x) avec une intégrale

Ressources associées et exercices semblables

Encadrement d’une intégrale (réf 1211)
exercice

Exercice | temps recommandé entre 5 et 10mn | Niveau 2 difficulté moyenne | séquence 3 du chapitre |
  1. $x$ est un réel positif.
    1. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}-(1-x)$ sur $[0;+\infty[$.
      Rappel cours

      Rappel sur la dérivée de $\dfrac{1}{v}$
      $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ avec $v$ fonction dérivable non nulle

      Solution

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    2. En déduire que $1-x\leq \dfrac{1}{1+x}$ pour tout rée $x\geq 0$
      Aide

      Calculer $f(0)$ et conclure avec les variations de $f$

      Solution

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  2. Montrer que pour tout réel $x\geq 0$ on a $\dfrac{1}{1+x}\leq 1-x+x^2$
    Aide

    Étudier le signe de $\dfrac{1}{1+x}-(1-x+x^2)$

    Solution

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  3. La fonction $g$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=ln(1+x)$.
    Calculer la dérivée de la fonction $g$.
    En déduire un encadrement de $ln(1+x)$ en utilisant $\displaystyle \int_0^x f(t)dt$
    Rappel cours

    Dérivée de $ln(u)$
    $\left(ln(u) \right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et positive
    Comparaison d'intégrales
    $f$ et $g$ sont deux fonctions continues telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $[a;b]$
    $\displaystyle \int_a^b f(x) dx \leq \displaystyle \int_a^b g(x)dx$

    Aide

    Utliser l'encadrement $1-t\leq \dfrac{1}{1+t}\leq 1-t+t^2$ obtenu pour $t\geq 0$

    Solution

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