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Contenu
Encadrement de l’inverse de 1+x
Encadrement d’une intégrale
Encadrement de ln(1+x) avec une intégrale
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- $x$ est un réel positif.
- Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}-(1-x)$ sur $[0;+\infty[$.
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- Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}-(1-x)$ sur $[0;+\infty[$.
- Montrer que pour tout réel $x\geq 0$ on a $\dfrac{1}{1+x}\leq 1-x+x^2$
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Étudier le signe de $\dfrac{1}{1+x}-(1-x+x^2)$
Solution
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Calculer la dérivée de la fonction $g$.
En déduire un encadrement de $ln(1+x)$ en utilisant $\displaystyle \int_0^x f(t)dt$Rappel cours
Dérivée de $ln(u)$
$\left(ln(u) \right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et positive
Comparaison d'intégrales
$f$ et $g$ sont deux fonctions continues telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $[a;b]$
$\displaystyle \int_a^b f(x) dx \leq \displaystyle \int_a^b g(x)dx$Aide
Utliser l'encadrement $1-t\leq \dfrac{1}{1+t}\leq 1-t+t^2$ obtenu pour $t\geq 0$
Solution
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