Étude des variations, limites et convexité d’une fonction avec ln(x) (réf 1124) Chapitre 4 fonction ln, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=aln(x)+bx$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Exprimer la dérivée $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

Rappel cours

Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

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$C_f$ admet une tangente d'équation $y=-x-2$ au point de la courbe d'abscisse 1.
Déterminer $a$ et $b$.

Rappel cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut écrire deux équations en utilisant le coefficient directeur de la tangente et les coordonnées du point de contact de la tangente et de $C_f$.

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Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.

Rappel cours

Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$ Croissances comparées
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$

Aide

Pour déterminer la limite en 0, on cherche la limite de chacun des deux termes de $f(x)$
en $+\infty$ la limite de la somme est indéterminée et il faut factoriser $x$ pour utiliser la limite de $\dfrac{ln(x)}{x}$ en $+\infty$

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Dresser le tableau de variation de $f$.

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Il faut étudier le signe de $f'(x)$

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Étudier la convexité de $f$.

Rappel cours

Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave Dérivées usuelles

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Compléter le tracé de $C_f$ dans le repère ci-dessous et tracer la tangente au point d'abscisse 1.

Aide

Placer le maximum de $f$ et utiliser un tableau de valeurs (MENU TABLE de la cslculatrice.

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