On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base ABFE, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé tel que $\overrightarrow{i} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $ \overrightarrow{j} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{k} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{AE}$
De plus on a $\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$

On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.
ex bac 2023 géométrie dans l'espace

Donner les coordonnées des points I et J.

Rappel cours

Coordonnées du milieu
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

Solution

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1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(IGJ)$.
  
  Rappel cours
  
  Vecteur normal à un plan/u>
  $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $P$
  Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
  Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
  
  Aide
  
  Il faut vérifier que $\overrightarrow{IG}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont orthogonaux à $\overrightarrow{n}$
  
  Solution
  
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Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.

Rappel cours

Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$

Aide

$\overrightarrow{n}$ est un vecteur directeur de $d$

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On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3}~;~ \dfrac{4}{3}~;~\dfrac{16}{3}\right)$.

Rappel cours

Projeté otthogonal sur un plan
Le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ est le point d'intersection de $P$ et de la droite orthogonale à $P$ passant par $M$

Aide

Il faut chercher l'intersection de $d$ passant par $H$ et de $P$

Solution

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Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.

Rappel cours

Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Aide

Il faut donc calculer la distance $LH$

Solution

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Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.

Aide

Il faut calculer $\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{IJ}$

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En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule : $V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$

Aide

Il faut calculer l'aire de $IGJ$ et utiliser la hauteur $[LH]$

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