À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de la marque $A$.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l'allumage du foyer.
Partie 1 : appareil de la marque A
encadrement d'une intégrale

Par lecture graphique :

Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.

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Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300$ degrés Celsius.

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On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
Estimer la valeur de $\displaystyle\dfrac{1}{600} \int_{0}^{600} f(t) dt$ et interpréter le résultat.

Rappel cours

Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

Valeur moyenne
$f$ est continue sur $[a;b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est $M=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)dx$

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Partie 2 : étude d'une fonction
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[ $ par $g(t) = 10 t e^{-0,01 t} + 20$.

Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.

Rappel cours

Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$

Aide

On a $g(t)=-1000\times (-0,01t)e^{-0,01t}$

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1. Montrer que pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$, on a $g'(t)=(-0,1 t + 10) e^{- 0,01 t}$.
  
  Aide
  
  On pose $u(t)=10 t $ et $v(t)=e^{-0,01t}$
  
  Solution
  
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2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+ \infty[$ et construire son tableau de variations.
  
  Solution
  
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Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur [$0~;~+ \infty[$.
En donner des valeurs approchées à l'unité.

Rappel cours

Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).

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À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_{0}^{600} g(t)dt$.

Rappel cours

Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$

Aide

Utiliser la linéarité pour décomposer en deux intégrales
On pose $u(t) = t$ et $v'(t) = e^{-0,01t}$.

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Partie 3 : évaluation
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer $t$ minutes après l'allumage est modélisée sur $[0~;~600]$ par la fonction $g$.
L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :
- Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320~$ degrés celsius
- Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
- Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l'allumage dépasse $250$ degrés celsius
- Critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ degrés celsius pendant plus de 5 heures.
Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

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