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Contenu
Arbre de probabilités
Calculs de probabilités
Loi de probabilités d’une variable aléatoire et espérance
Justifier une loi binomiale
Calculs de probabilités avec une loi binomiale
Ressources associées et exercices semblables
Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.
On a constaté que :
Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65% des cas ;
- Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50% des cas.
La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.
On considère les évènements suivants:
- $A_1$ : "Le joueur atteint la cible lors du premier tir"
- $A_2$ : "Le joueur atteint la cible lors du second tir"
- $A_3$ : "Le joueur atteint la cible lors du troisième tir".
- Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
Rappel cours
69fcours
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Solution
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Infos abonnements - Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,4015$.
Aide
Identifier les parcours sur l'arbre contenant deux fois l'événement "la cible est atteinte"
Solution
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Infos abonnements - L'objectif de cette question est de calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
- Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Aide
On a calculé $p(X)=2$ et il faut compléter avec $p(X=1)$
Rappel: la somme des probabilités est égale à 1Solution
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Infos abonnements - Calculer $E(X)$.
Rappel cours
Espérance-variance-écart type
L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$
ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$
L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$Solution
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Infos abonnements - Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.
Solution
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Infos abonnements .
- Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.
Partie B
On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.
Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.
- Dans cette question, $N = 15$.
- Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Rappel cours
Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. %l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Aide
Identifier l'épreuve de Bernoulli utilisée
Solution
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Infos abonnements - Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.
Rappel cours
Probabilités avec la loi binomiale
$X$ sui la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$
$p(X=k)=\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}p^k\times (1-p)^{n-k}$Solution
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- Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
- Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
Aide
Au moins un joueur est gagnant est le contraire de "aucun joueur n'a gagné" soit $X=0$
Solution
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