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Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS chapitre 1 suites et limites de suites séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoir suites, limites et raisonnement par récurrence (réf 0969)

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mémo

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 3 difficulté supérieure | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (8 points)
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u{n+1}=\dfrac{3}{4}u_n+\dfrac{1}{4}n+1$ pour tout entier naturel $n$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$
    Aide

    Pour calculer $u_1$ il faut choisir $n=0$ dans la relation ci-dessus

    Solution

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  2. En utilisant la calculatrice, conjecturer le sens de variation de $(u_n)$.
    Solution

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  3. Démontrer par récurrence que pour tout ntier naturel $n$ on a $n\leq u_n\leq n+1$
    Rappel cours

    Raisonnement par récurrence
    On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.

    • $P_0$ vraie
    • Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
    • On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

    Aide

    La propriété à démontrer est $n\leq u_n\leq n+1$
    Vérifier que la propriété est vraie pour $u_0$ soit pour $n=0$(initialisation)
    On suppose qu'il existe un entier natuel $k$ tel que $k\leq u_k\leq k+1$ et on veut montrer que $k+1\leq u_{k+1}\leq k+2$

    Solution

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  4. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$
    Rappel cours

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

    Aide

    On étudie le signe $u_{n+1}-u_n$ sachant que $n\leq u_n\leq n+1$

    Solution

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  5. Déterminer la limite de $(u_n)$.
    Rappel cours

    Théorème des gendarmes
    Si pour tout entier $n\geq N$ avec $N\in \mathbb{N}$ on a $u_n alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}w_n=\ell$

    Solution

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  6. On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-n$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$
      Rappel cours

      Suite géométrique
      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

      Aide

      Il faut montrer que $v_{n+1}=qv_n$, $q$ étant la raison de la suite $(v_n)$
      On a $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)$

      Solution

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    2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+n$
      Rappel cours

      Forme explicite d'une suite géométrique
      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

      Aide

      Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et $u_n=v_n+n$

      Solution

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    3. Retrouver la limite de la suite $(u_n)$ en utilisant la forme explicite ci-dessus.
      Rappel cours

      Limite de $q^n$
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
      Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

      Aide

      Chercher d'abord la limite de $(v_n)$

      Solution

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Exercice 2 (8 points)
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;4]$ par $f(x)=\dfrac{2+3x}{4+x}$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=3$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ (on admet que cette suite est bien définie c'est à dire $u_n\neq 4$ pour tout entier $n$)
  1. Calculer $u_1$
    Solution

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  2. Montrer que $f$ est croissante sur $[0;4]$
    Rappel cours

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Aide

    Il faut calculer $f'(x)$ en posant $u(x)=2+3x$ et $v(x)=4+x$

    Solution

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  3. Montrer par récurrence que pour tout enrier naturel $n$ on a $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 3$
    Rappel cours

    Raisonnement par récurrence
    On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation:
    $P_0$ est vraie
    Hérédité:
    Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
    on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

    Aide

    On utilise le sens de variation de $f$ pour obtenir $1\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq 3$ à partir de $1\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 3$

    Solution

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  4. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
    Rappel cours

    Limite d'une suite majorée ou minorée
    Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
    Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente

    Aide

    Déterminer le sens de variation de la suite en utilisant la question précédente

    Solution

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  5. On admet que la limite $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$.
    Déterminer $\ell$
    Solution

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Exercice 3 (4 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par $u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$
  1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    Aide

    Calculer la limite du produit $n(n+1)$

    Solution

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  2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ on a:
    $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
    Aide

    Ecrire $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ sous le même dénominateur

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  3. Pour tout entier naturel $n\in \mathbb{N}^*$ , exprimer la somme $S_n=u_1+u_2+...+u_n$
    Aide

    On utilise $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

    Solution

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  4. Déterminer alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n$
    Solution

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