Limite avec indétermination et racines carrées (deux méthodes) (réf 1009) Chapitre 2 limites de fonctions et asymptotes, Séquence 4 complément cas particuliers de limites indéterminées, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

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Limite avec indétermination et racines carrées (deux méthodes) (réf 1009)

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Limites avec indétermination 0/0

Utilisation de l’expression conjuguée pour lever l’indétermination

Utilisation du taux d’accroissement pour lever une indétermination

Ressources associées et exercices semblables

Cas d’indétermination avec des racines carrées (réf 1007)
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Indétermination avec des racines carrées et utilisation de l’expression conjuguée (réf 1008)
exercice

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La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$.
On cherche à déterminer la limite de $f$ en $0^+$ de deux manières différentes.

Montrer que pour tout $x\geq 1$ on a $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$

Aide

On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur soit par $\sqrt{x+1}+1$

Solution

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On pose $g(x)=\sqrt{x+1}$ pour tout réel $x \geq 0$
1. Calculer le taux d'accroissement de $g$ entre $0$ et $x$ avec $x>0$
  
  Aide
  
  Rappel Le taux d'acroissement de $f$ entre $a $ et $b$ est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  
  Solution
  
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2. Calculer $g'(x)$ puis $g'(0)$.
  
  Rappel cours
  
  $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
  
  Solution
  
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3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$
  
  Rappel cours
  
  Nombre dérivé
  Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
  S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
  $k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
  On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
  
  Solution
  
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