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Contenu
Algorithme de recherche d’un seuil
Démonstration par récurrence
Limite d’une suite par comparaison
Ressources associées et exercices semblables
Suites liées par une relation de récurrence (ex BAC) (réf 0957)
exercice
Suite définie par récurrence (réf 0961)
exercice
Suite définie par une relation de récurrence (réf 0962)
exercice
On considère l'algorithme suivant :
Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.
Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?
Aide
On peut faire fonctionner "à la main" l'algorithme pour $N=3$ par exemple.
On peut aussi saisir cet algorithme dans le MENU programme de la calculatrice pour déterminer les valeurs de sortie...
Solution
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Partie B
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$. \medskip
- Calculer $u_1$ et $u_2$.
Aide
On prend $n=0$ puis $n=1$ dans la relation $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$
Solution
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- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$.
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On peu poser $P_n$ ($n\in \mathbb{N}$) la propriété $u_n\geq n$
Initialisation: vérifier que la relation est vraie pour les premiers termes
$P_{n+1}$ est la propriété $u_{n+1} \geq n+1$
Pour obtenir $P_{n+1}$ à partir de $P_n$, on doit multiplier $u_n$ par 3, ajouter $-2n$ puis ajouter 3Solution
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Infos abonnements - En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Rappel cours
Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$Aide
utiliser la question précédente et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n$
Solution
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- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$.
- Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Solution
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Infos abonnements - Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On veut montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $v_{n+1}=kv_n$
$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n+1$...Solution
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Infos abonnements - En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
On peut exprimer $v_n$ en fonction de $n$ en calculant d'abord $v_0$
on a $v_n=u_n-n+1$ soit $u_n=v_n+n-1$Solution
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- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
- Soit $p$ un entier naturel non nul.
- Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,
$u_n\geq 10^p$ ?
Rappel cours
Limite infinie
Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$Aide
On peut utiliser le résultat $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
Solution
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On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
- Justifier que $n_0\leq 3p$.
Aide
On a $u_n\geq n$ et $u_{n+1}=3u_n-2n+3$ et on peut prendre $n=3p$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
Aide
010 On utilise le MENU RECUR de la calculatrice pour afficher les termes de la suite
Solution
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Infos abonnements - Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on ait $u_n\geq 10^p$.
Aide
011 Il faut utiliser une boucle TANT QUE et un compteur $n$ pour les indices avec à chaque passage dans la boucle $n+1\longrightarrow n$
Solution
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- Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,
$u_n\geq 10^p$ ?