Suites liées par une relation de récurrence (ex BAC) (réf 0957) chapitre 1 suites et limites de suites, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{4u_n}{4-u_n}$ et $u_0=-1$.
On admet que $u_n\neq 4$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique?

Rappel cours

Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

Aide

Il faut montrer que la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante et que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant

Solution

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Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{3u_n+2}{u_n}$
Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.

Aide

On veut montrer que $v_{n+1}=v_n+r$
On peut calculer $v_{n+1}-v_n$ et montrer que cette différence ne dépend pas de $n$ (est donc constante)

Solution

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En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Rappel cours

Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

Aide

Une suite arithmétique est entièrement déterminée par la donnée de sa raison et de son premier terme
Il faut donc calculer $v_0$

Solution

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En déduire les variations de $(u_n)$ et sa limite

Aide

Il faut déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{-4-(n+1)}-\dfrac{4}{-4-n}$

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