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Utilisation d’un repère dans un cube pour calculer l’angle entre deux droites (réf 1270)

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Calcul du produit scalaire dans un repère sur un cube

Calcul d’un angle avec un produit scalaire

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Utiliser un repère de l’espace et le produit scalaire pour le calcul d’un angle (réf 1271)
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$ABCDEFGH$ est un cube(figure ci-dessous).
$I$ et $J$ sont les centres des carrés $BCGF$ et $EFGH$ (voir figure)

Pour la suite on considère le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$.

Justifier que le repère choisi est orthonormé.

Aide

Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE})$ ne sont pas coplanaires, orthogonaux deux à deux et de même norme.

Solution

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Donner les coordonnées des sommets $B$, $G$ et $E$ du cube dans ce repère puis les coordonnées des points $I$ et $J$

Rappel cours

Coordonnées du milieu du segment $[AB]$
Le milieu $I$ de $[AB]$ avec $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}\dfrac{x_A+x_B}{2}\\\dfrac{y_A+y_B}{2}\\\dfrac{z_A+z_B}{2}\end{pmatrix}$

Solution

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Calculer $\overrightarrow{JE}.\overrightarrow{JI}$

Rappel cours

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Solution

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En déduire la mesure de $\widehat{EJI}$.

Rappel cours

Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$

Solution

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