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Contenu
Calcul du produit scalaire dans un repère sur un cube
Calcul d’un angle avec un produit scalaire
Ressources associées et exercices semblables
Utilisation d’un repère dans un cube pour justifier l’orthogonalité de deux droites (réf 1269)
exercice
Utiliser un repère de l’espace et le produit scalaire pour le calcul d’un angle (réf 1271)
exercice
Vidéo de l’exercice
$I$ et $J$ sont les centres des carrés $BCGF$ et $EFGH$ (voir figure)
Pour la suite on considère le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$.
- Justifier que le repère choisi est orthonormé.
Aide
Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires, orthogonaux deux à deux et de même norme.
Solution
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Infos abonnements - Donner les coordonnées des sommets $B$, $G$ et $E$ du cube dans ce repère puis les coordonnées des points $I$ et $J$
Rappel cours
Coordonnées du milieu du segment $[AB]$
Le milieu $I$ de $[AB]$ avec $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}\dfrac{x_A+x_B}{2}\\\dfrac{y_A+y_B}{2}\\\dfrac{z_A+z_B}{2}\end{pmatrix}$Solution
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Infos abonnements - Calculer $\overrightarrow{JE}.\overrightarrow{JI}$
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Solution
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Infos abonnements - En déduire la mesure de $\widehat{EJI}$.
Rappel cours
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Solution
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