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Contenu
Lecture graphique du nombre dérivé
Dérivée et variations d’une fonction avec ln(x)
Dérivée seconde et convexité
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Fiche méthode Calculs de dérivées avec la fonction ln (réf 1134)
méthode
Vidéo de l’exercice
On donne ci-dessous $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal et T la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.
- Déterminer graphiquement $f(1)$ et $f~'(1)$
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Il faut déterminer le coefficient directeur de T.
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Rappel cours
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Solution
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Infos abonnements - En utilisant la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$.
Aide
On a $f(1)=2$ et il faut exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
De même on a $f~'(1)=-2$ et il faut exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
Rappel: $ln(1)=0$Solution
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Infos abonnements - Déterminer alors les variations de $f$.
Aide
On a obtenu à la question 2., $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ avec $a=2$ et $b=-4$
Il faut étudier le signe de $f~'(x)$ en réduisant au préalable au même dénominateur
Rappel: $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ ....Solution
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Infos abonnements - Calculer $f~''(x)$ et en déduire la convexité de $f$.
Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveAide
On a $f~'(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x$Solution
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